[Digital design] 불 대수(Boolean Argebra)와 불 함수(Boolean Function)

학부생의 입장에서 내용을 정리하였으며 피드백을 환영합니다.

 

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불 대수(Boolean Algebra)

1. 불 대수(Boolean Algebra)란?

 

영국의 수학자 조지불(Geoge Boole)이 고안한 논리 수학이다. 참과 거짓을 수학적인 영역으로 포함시킨 것에서 큰 의미를 가진다. 고등학교에서 배운 명제와 집합을 생각하면 된다. 

 

2. 불 대수의 공리, 공준, 정리

 

불 대수의 공준은 더 있지만 이 글에서 소개하지 않았다. 궁금하면 찾아보자

 

불 대수의 공리

공리는 증명을 필요로 하지 않는 전제같은 것이다. 그냥 외우면 된다.

 

<불 대수의 공리>

0+0=0 , 0+1=1+0=1 , 1+1=1

0·0=0 , 0·1=1·0=0 , 1·1=1

A=0 이면 A'=1 이고 A=1 이면 A'=0 이다.

 

불대수의 공준과 정리

밑의 표에서 x,y,z등의 문자는 대수적인 변수가 아닌 논리 변수이다. 0과 1이 들어간다. 

이 표 역시 외워야한다.

 

출처: slideplayer.com

postulate가 공준이고 그 밑으로 6가지 정리가 있다. 빨간 네모안의 내용들 중 드모르간 법칙은 너무 중요하고 나머지 것들은 생소해서 잘 봐두어야하한다. 물론 다 외워야한다. 

집합에서 x,y,z,를 주머니라고하고 +를 합집합, ·를 교집합, '를 여집합으로 생각하면 받아들이기 쉬울 것이다.

 

위의 표에서 (a)와 (b)는 쌍대의 관계를 가지는데 쌍대는 다음과같다.

 

쌍대

쌍대원리(duality principle ) : 2진 연산자와 단위원이 상호 교환되면 한쪽 부분을 다른 쪽 부분으로부터 얻을 수 있다.

쉽게 말해서 OR연산자(+)와 AND(·)연산자를 서로 바꾸어주고 0을 1로, 1을 0으로 바꾸어주면 된다.

식을 전개할 때나 증명등에 필요하다.

 

연산자 우선순위

연산자 우선순위가 있다. 불 연산은 다음과 같은 순서로 이뤄진다.

1. 괄호(())

2. NOT(')

3. AND(·)

4. OR(+)

 

 

Boolean Function

1. 불 함수(Boolean Function)란?

불 대수는 2진 변수와 논리 연산을 다루는 대수이다. 이런 대수식으로 표현되는 것이 불 함수이다.

내가 배운 것을 토대로 보충하자면 함수가 어떤 변수들의 연산으로 원하는 결과를 이끌어 내듯 불 함수도 0과 1이란 input에서 원하는 결과를 이끌어 내는 논리 변수와 논리 연산의 조합이다.

예시를 들어보겠다.

 

F₁= x+y'z

 

위의 식이 불 함수이다. 논리 연산인 AND(·)와 OR(+), NOT('), 논리 변수인 x,y,z로 이루어져있다.

 

출처: slideplayer.com

Truth Table(진리표)란 각 변수와 함수의 결과를 표로 정리해놓은 것을 말한다.

출처: slideplayer.com

 

출처: slideplayer.com

다른 논리연산이다. 빨간 네모박스에 있는 것은 알아두는 것이 좋다.

 

Digital design과목의 목표는 말그대로 논리회로를 설계하는 것이다. input에서 원하는 output을 출력해주는 회로를 설계하는 것이 목표이다. 그런 의미에서 불 함수는 매우 중요하다. 

 

다음에는 본격적으로 불 함수를 다루기 전에 필요한 단어들과 논리게이트를 정리할 것이다.